Cách tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng là gì? Nó có đặc điểm như thế nào? Tất cả sẽ được giải đáp trong bài viết này

1. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng trong không gian Oxyz

Định nghĩa: Nếu như có một vecto $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 $ mà vuông góc với mặt phẳng (Q) cho trước thì ta nói $\overrightarrow n $ là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q).

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q)

Theo định nghĩa trên thì:

  • Mỗi mặt phẳng sẽ có vô số vecto pháp tuyến nhưng các vecto này luôn cùng phương với nhau.
  • Nếu như ta biết được vecto pháp tuyến và một điểm nằm trong mặt phẳng thì ta hoàn toàn xác định được phương trình mặt phẳng đó.
  • Ngoài $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 $ là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q), vecto này còn là vecto pháp tuyến của vô số mặt phẳng khác, các mặt phẳng này song song với mặt phẳng (P).

Nếu như biết phương trình mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 thì ta chỉ ngay được vecto pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow n $ = ( A; B; C)

Ví dụ: Cho phương trình mặt phẳng (α): 2x + 3y – z + 5 = 0. Chọn đáp án đúng khi nói về vecto chỉ phương của (α)?

A. $\overrightarrow n $ = ( – 2; 3; 5)

B. $\overrightarrow n $ = ( 2; 3; 5)

C. $\overrightarrow n $ = ( 2; 3; – 1)

D. $\overrightarrow n $ = ( 3; – 1; 5)

Lời giải

Dựa theo lý thuyết trên, ta dễ dàng chỉ ra được vecto pháp tuyến của (α) là $\overrightarrow n $ = ( 2; 3; – 1)

2. Vecto chỉ phương của mặt phẳng

Định nghĩa: Nếu như có một vecto $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 $ mà song song hoặc nằm trong mặt phẳng (Q) cho trước thì ta nói $\overrightarrow u $ là vecto chỉ phương của mặt phẳng (Q).

Vecto chỉ phương của mặt phẳng
Vecto chỉ phương của mặt phẳng

Từ định nghĩa trên cho ta thấy:

  • Mỗi mặt phẳng sẽ có vô số vecto chỉ phương.
  • Các vecto chỉ phương này đồng thời vuông góc với vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q).
  • Theo kiến thức tích có hướng thì nếu biết 2 vecto chỉ phương của (Q) (hai vecto này không cùng phương) thì ta tìm được vecto pháp tuyến

Ví dụ: Một mặt phẳng (Q) cho trước biết cặp vecto chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow {{u_1}} $ = ( 1; 2; – 1) và $\overrightarrow {{u_2}} $ = ( – 1; 0; 1). Hãy tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q).

Lời giải

Dựa theo lý thuyết trên, vecto pháp tuyến chính bằng tích có hướng của 2 vecto chỉ phương mà đề bài cho

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]$ $ = \left( {\left| \begin{array}{l} 2\,\, – 1\\ 0\,\,\,\,\,\,1 \end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} – 1\,\,\,\,\,\,1\\ \,\,\,1\,\,\, – 1 \end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} \,\,\,1\,\,\,2\\ – 1\,\,\,0 \end{array} \right|} \right)$ = ( 2; 0; 2)

Ta thấy $\overrightarrow n $ = ( 1; 0; 1) cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q)

Trên đây là những chia sẻ về vecto pháp tuyến của mặt phẳng. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp ích được cho bạn trong quá trình học tốt hình học lớp 12. Đừng quên quay lại Dientich.net để đón xem những chủ đề hay tiếp theo nhé