Công thức tính thể tích tứ diện đều

Theo bạn thì hình tứ diện đều là gì? Thể tích tứ diện đều có công thức như nào? Bài viết dưới đây sẽ lần lượt giải đáp các câu hỏi trên, đồng thời có những ví dụ thực tế để minh họa. Mời bạn đọc theo dõi

1. Tứ diện

Trong không gian Oxyz, tứ diện là hình có 4 đỉnh và 4 mặt.

Tứ diện
Tứ diện

Nhìn vào hình vẽ ta thấy tứ diện có đặc điểm:

  • Bốn đỉnh là A, B, C, D
  • Tứ diện có bốn mặt là các hình tam giác: (ABC), (ACD), (BCD), (ABD)
  • Có 6 cạnh: AB, BC, CD, DA, BD, AC.

Tứ diện đều là tứ diện có các mặt bên là tam giác đều

Tứ diện đều
Tứ diện đều

Tứ diện đều có đặc điểm

  • Tứ diện có bốn mặt là tam giác đều: SΔABC = SΔACD= SΔBCD= SΔABD.
  • Có 6 cạnh: AB = BC = CD = DA = BD = AC.

2. Thể tích tứ diện đều

a) Tứ diện đều

Một tứ diện có cạnh a gọi là tứ diện đều và công thức tính thể tích

\[V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\]

b) Khối tứ diện vuông

Giả sử một tứ diện ABCD có AB ⊥ AC ⊥ AD được gọi là khối tứ diện vuông. Thể tích của nó được tính theo công thức

\[V = \frac{1}{6}.AB.AC.AD\]

c) khối tứ diện bất kì

Giả sử một tứ diện ABCD, biết độ dài các cạnh: AB, BC, CD, DA, BD, AC thì thể tích khối tứ diện là

\[{\rm{V = }}\frac{1}{{12}}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d} \]

Trong đó:

  • a = $B{C^2}.A{D^2}\left( {C{A^2} + B{D^2} + A{B^2} + C{D^2} – B{C^2} – A{D^2}} \right)$
  • b = $C{A^2}.B{D^2}\left( {A{D^2} + B{C^2} + C{D^2} + A{B^2} – C{A^2} – B{D^2}} \right)$
  • c = $A{B^2}.C{D^2}\left( {A{C^2} + B{D^2} + A{D^2} + B{C^2} – A{B^2} – C{D^2}} \right)$
  • d = (AB.BC.CA)2 + (AC.CD.AD)2 + (AB.BD.AD)2 + (BC.CA.BD)2

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hãy tính thể tích khối tứ diện đều ABCD biết:

a) cạnh AB = 4 cm

b) cạnh CD = 6 cm

c) cạnh BD = 3 cm

Hướng dẫn giải

a) Vì là tứ diện đều nên các cạnh có độ dài bằng nhau: BC = CD = DA = BD = AC = AB = 4 cm nên thể tích là

\[V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{{{4^3}\sqrt 2 }}{{12}} = 7,54\left( {c{m^3}} \right)\]

Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a = 5 cm. Hỏi thế tích bằng bao nhiêu

b) Vì là tứ diện đều nên AB = BC = DA = BD = AC = CD = 6 cm nên thể tích là

\[V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{{{6^3}\sqrt 2 }}{{12}} = 25,46\left( {c{m^3}} \right)\]

c) Vì là tứ diện đều nên AB = BC = CD = DA = AC = BD = 3 cm nên thể tích

\[V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{{{3^3}\sqrt 2 }}{{12}} = 3,18\left( {c{m^3}} \right)\]

Ví dụ 2: Cho một hình chóp đều có thể tích 4 cm3. Hỏi độ dài mỗi cạnh bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Theo đề: V = 4 cm3.

Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện đều:

\[V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} \Rightarrow a = \sqrt[3]{{\frac{{12V}}{{\sqrt 2 }}}} = \sqrt[3]{{\frac{{12.4}}{{\sqrt 2 }}}} = 3,24\left( {cm} \right)\]

Hy vọng với những chia sẻ trên dientich.net chi tiết bạn đã trả lời câu hỏi tứ diện là gì? Vận dụng công thức thể tích tứ diện đều vào giải quyết những bài toán thực tế.