Công thức tính diện tích hình elip và phương trình elip

Bạn đã biết hình elip là gì chưa? Công thức tính diện tích hình elip? Phương trình elip? Nếu chưa biết bạn có thể xem bài viết dưới đây. Dientich.net sẽ giải đáp lần lượt các câu hỏi trên, tất nhiên là mỗi công thức sẽ có ví dụ giúp bạn hiểu cặn kẽ hơn. Bắt đầu nào

1. Hình elip là gì?

Elip là tập hợp các điểm P trong mặt phẳng luôn thỏa mãn: F1P + F2P = 2a (*)

Diện tích hình elip
Diện tích hình elip

Trong hình trên:

  • P là một điểm nằm trên hình elip, nó luôn thỏa mãn (*)
  • Hình elip có hai tiêu điểm là F1( – c; 0) và F2( c; 0). Khoảng cách từ F1 tới F2 gọi là tiêu cự: F1F2 = 2c (**)
  • Ta dễ dàng chứng minh được b2 = a2 – c2 (***)

2. Diện tích hình elip

Giả sử hình elip có:

  • độ dài trụ lớn AB = 2a
  • độ dài trục nhỏ là CD = 2b

Thì công thức tính diện tích của hình elip là  S = π.a.b

3. Phương trình elip

Phương trình elip tổng quát có dạng:

Phương trình elip

Trong đó:

  • độ dài trụ lớn AB = 2a
  • độ dài trục nhỏ là CD = 2b
  • khoảng cách giữ hai tiêu điểm F1F2 = 2c
  • Mối liên hệ cần nhớ b2 = a2 – c2

4. Bài tập

Bài tập 1. Hãy tính diện tích hình elip, biết:

a) độ dài trụ lớn 6 cm và độ dài trục nhỏ 4 cm

b) độ dài trụ lớn AB = 4 cm và độ dài trục nhỏ CD = 3,5 cm

c) Điểm xa nhất nằm trên elip cách gốc tọa độ là 5 cm và điểm gần nhất nằm trên elip cách gốc tọa độ là 4 cm.

Hướng dẫn giải

a) Theo đề

  • AB = 6 cm => 2a = 6 cm => a = 3 cm.
  • CD = 4 cm => 2b = 4 cm => a = 2 cm.

Công thức tính diện tích hình elip: S = π.a.b = π.3.2 = 6π (cm2)

b) Ta có:

  • AB = 4 cm => 2a = 4 cm => a = 2 cm.
  • CD = 3,5 cm => 2b = 3,5 cm => b = 1,75 cm.

Công thức tính diện tích của hình elip: S = π.a.b = π.2.1,75 = 3,5π (cm2)

c) Theo đề:

  • Điểm xa nhất nằm trên elip cách gốc tọa độ là a = 5 cm
  • Điểm gần nhất nằm trên elip cách gốc tọa độ là b = 4 cm.

Cách tính diện tích hình elip theo công thức: S = π.a.b = π.5.4 = 20π (cm2)

Bài tập 2. Hãy viết phương trình elip khi biết

a) a = 4 cm, b = 3 cm

b) a = 6 cm, c = 5 cm

Hướng dẫn giải

a) Theo đề:

  • a = 4 cm
  • b = 3 cm

Phương trình elip có dạng:

$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{4^3}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$

b) Theo đề

  • a = 5 cm
  • c = 3 cm => $b = \sqrt {{a^2} – {c^2}} = \sqrt {{5^2} – {3^2}} = 4\left( {cm} \right)$

Dựa vào biến đổi trên, ta suy ra cách viết phương trình elip là:

$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{5^3}}} + \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$

Qua bài viết này bạn đã hiểu hình elip là gì, công thức tính chu vi và diện tích hình elip.