Công thức

Cách nhớ các công thức lượng giác lớp 10

Ở bậc THCS, học sinh đã được làm quen với những giá trị lượng giác thuộc góc phần tư thứ nhất, những biến đổi cơ bản. Lên lớp 10 lượng kiến thức này được mở rộng ra, cụ thể là các giá trị đặc biệt mở rộng từ 00 đến 3600 như bảng dưới đây hoặc hơn. Các công thức hạ bậc, cộng, tổng, tích, … sẽ giúp bạn giải bài toán lượng giác trở nên đơn giản hơn.

Diện Tích đã biên soạn bảng các công thức lượng giác đầy đủ, các kiến thức được sắp xếp từ cơ bản tới nâng cao để bạn dễ tiếp thu và nhớ lâu hơn.

1. Bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt

2. Giá trị lượng giác một số góc (cung) có liên quan đặc biệt

Dựa vào bảng giá trị trên ta thấy

a) Hai góc đối nhau

b) Hai góc bù nhau

c) Hai góc hơn kém π

d) Hai góc phụ nhau

e) Hai góc hơn kém nhau π/2

3. Bảng công thức lượng giác cần nhớ

a) Tính chất 

b) Công thức lượng giác cơ bản

c) Công thức cộng lượng giác

d) Công thức nhân đôi trong lượng giác

e) Công thức nhân ba trong lượng giác

f) Công thức hạ bậc trong lượng giác

g) Công thức biến đổi tích thành tổng trong lượng giác

h) Công thức biến đổi tổng thành tích

3. Bài tập lượng giác

Ví dụ 1: Cho $\alpha ,\,\beta $ thoả mãn $\sin \alpha + \sin \beta = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ và $\cos \alpha + \cos \beta = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$.

a) Tính $\cos \left( {\alpha – \beta } \right)$ .

b) Tính $\sin \left( {\alpha + \beta } \right)$.

Lời giải

Ta có $\sin \alpha + \sin \beta = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + 2\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}$ (1)

$\cos \alpha + \cos \beta = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$$ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + 2\cos \alpha \cos \beta = \frac{3}{2}$ (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được

${\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + {\cos ^2}\alpha $$ + {\cos ^2}\beta + 2\sin \alpha \sin \beta + 2\cos \alpha \cos \beta = 2$

$ \Leftrightarrow 2 + 2\left( {\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta } \right) = 2$

Vậy $\cos \left( {\alpha – \beta } \right) = 0$

Từ giả thiết ta có $\left( {\sin \alpha + \sin \beta } \right)\left( {\cos \alpha + \cos \beta } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 6 }}{2}$

$ \Leftrightarrow \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos \beta $ $ + \sin \beta \cos \alpha + \sin \beta \cos \beta = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\sin 2\alpha + \sin 2\beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Mặt khác $\sin 2\alpha + \sin 2\beta = 2\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\cos \left( {\alpha – \beta } \right) = 0$ (Do $\cos \left( {\alpha – \beta } \right) = 0$ )

Suy ra $\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Ví dụ 2: Cho $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{{\sqrt 7 }}{2}$ và $0 < \alpha < \frac{\pi }{4}$. Tính $\tan \frac{{2\alpha + 2015\pi }}{4}$.

Lời giải

Đặt $t = \tan \frac{\alpha }{2}$ ta có $\sin \alpha = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\,\cos \alpha = \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$ từ giả thiết ta có

$\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = \frac{{\sqrt 7 }}{2}$$ \Leftrightarrow \left( {\sqrt 7 + 2} \right){t^2} – 4t + \sqrt 7 – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = \frac{{\sqrt 7 – 2}}{3}}\\ {t = \sqrt 7 – 2} \end{array}} \right.$

Do $0 < \alpha < \frac{\pi }{4}$ nên $t = \tan \frac{\alpha }{2} = \frac{{\sqrt 7 – 2}}{3}$.

Ta có $\tan \frac{{2\alpha + 2015\pi }}{4} = \tan \left( {\frac{\alpha }{2} + 504\pi – \frac{\pi }{4}} \right) = \tan \left( {\frac{\alpha }{2} – \frac{\pi }{4}} \right)$

$ = \frac{{\tan \frac{\alpha }{2} – \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{{\sqrt 7 – 2}}{3} – 1}}{{1 + \frac{{\sqrt 7 – 2}}{3}}} = \frac{{\sqrt 7 – 5}}{{\sqrt 7 + 1}}$

Ví dụ 3: Cho $\sin x = 2\sin \left( {x + y} \right),\,x + y \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $. Chứng minh $\tan \left( {x + y} \right) = \frac{{\sin y}}{{\cos y – 2}}$.

Lời giải

$\sin x = \sin \left[ {\left( {x + y} \right) – y} \right]$$ = \sin \left( {x + y} \right)\cos y – \cos \left( {x + y} \right)\sin y$

$\begin{gathered} \Rightarrow \sin \left( {x + y} \right)\cos y – \cos \left( {x + y} \right)\sin y = 2\sin \left( {x + y} \right) \hfill \\ \Rightarrow \left( {\cos y – 2} \right)\sin \left( {x + y} \right) = \cos \left( {x + y} \right)\sin y \hfill \\ \Rightarrow \tan \left( {x + y} \right) = \frac{{\sin y}}{{\cos y – 2}} \hfill \\ \end{gathered} $

Ví dụ 4: Đơn giản biểu thức sau$B = \sqrt {\frac{1}{2} – \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos \alpha } } $$(0 < \alpha \leqslant \pi )$

Lời giải

Vì$0 < \alpha \leqslant \pi \Rightarrow \sin \frac{\alpha }{2} > 0,\,\,\cos \frac{\alpha }{2} > 0$ nên

$B = \sqrt {\frac{1}{2} – \frac{1}{2}\sqrt {{{\cos }^2}\frac{\alpha }{2}} } $$ = \sqrt {\frac{1}{2} – \frac{1}{2}\cos \frac{\alpha }{2}} $ $ = \sqrt {{{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} = \sin \frac{\alpha }{2}$

Ví dụ 5: Chứng minh các hệ thức sau Nếu $3\sin \left( {a + b} \right) = \cos \left( {a – b} \right)$ thì $8{\sin ^2}\left( {a + b} \right) = \cos 2a\cos 2b$

Lời giải

Từ giả thiết ta có $9{\sin ^2}\left( {a + b} \right) = {\cos ^2}\left( {a – b} \right)$

$\begin{gathered} \Rightarrow 9.\frac{{1 – \cos 2\left( {a + b} \right)}}{2} = \frac{{1 + \cos 2\left( {a – b} \right)}}{2} \hfill \\ \Rightarrow 8\left[ {1 – \cos 2\left( {a + b} \right)} \right] = \cos 2\left( {a + b} \right) + \cos 2\left( {a – b} \right) \hfill \\ \Rightarrow 16{\sin ^2}\left( {a + b} \right) = 2\cos 2a\cos 2b \hfill \\ \end{gathered} $

Hay $8{\sin ^2}\left( {a + b} \right) = \cos 2a\cos 2b$. ĐPCM.

Trên đây là bảng các công thức lượng giác toán lớp 10 cần nhớ. Các bạn thấy, lượng công thức tương đối nhiều nên muốn nhớ tốt và vận dụng nhuần nhuyễn thì điều đầu tiên yêu cầu bạn phải chăm học để có thể nhớ chính xác. Kế tiếp phải thường xuyên sử dụng công thức làm bài tập để biết cách vận dụng. Khi mới học cần giải các bài tập cơ bản trước, sau đó mới chuyển dần sang những bài tập nâng cao. Học theo cách đó giúp bạn dễ hiểu, nhớ lâu và yêu thích các công thức lượng giác, toán học hơn.