Toán học

Các công thức đạo hàm cơ bản lớp 11

Chương cuối toán lớp 11, các em học sinh sẽ được học kiến thức một kiến thức quan trọng. Đó là đạo hàm. Nó quan trọng bởi nếu quên hoặc không nhớ học sinh khó có thể học tốt chương khảo sát hàm số thuộc toán lớp 12.

Dientich biên soạn nội dung bài viết này gồm: Các công thức đạo hàm từ căn bản tới nâng cao, bài tập đạo hàm có lời giải chi tiết.

1. Những quy tắc đạo hàm cần nhớ

a) Quy tắc

  •  Nếu C là hằng số thì (C)’ = 0
  • (x)’ = 1
  • $({x^n})’ = n{x^{n – 1}},n \in {N^*}$
  • ${\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}$

b) Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số

Nếu u = u(x) và v = v(x) thì khi lấy đạo hàm theo x:

  • (u + v)’ = (u)’ + (v)’
  • (u – v)’ = (u)’ – (v)’
  • (ku)’ = k.(u)’ với k là hằng số
  • ${\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u\prime v – v\prime u}}{{{v^2}}} \Rightarrow {\left( {\frac{1}{v}} \right)^\prime } = – \frac{{v\prime }}{{{v^2}}}$

c) Cách tính đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x). Khi đó $y_x^, = y_u^,.u_x^,$

2. Bảng công thức đạo hàm

a) Đạo hàm cơ bản

Bảng đạo hàm này gồm

  • 6 công thức cơ bản
  • 5 công thức nâng cao

Đạo hàm cơ bản

b) Đạo hàm lượng giác

Bảng đạo hàm của hàm lượng giác này gồm: 4 công thức cơ bản và 4 công thức nâng cao

Đạo hàm lượng giác

c) Đạo hàm của hàm mũ

Bảng đạo hàm của hàm số mũ gồm: 2 công thức cơ bản và 2 công thức nâng cao

Đạo hàm của hàm mũ

d) Đạo hàm của hàm logarit

Bảng đạo hàm của hàm số logarit gồm: 2 công thức cơ bản và 2 công thức nâng cao

Đạo hàm của hàm logarit

e) Đạo hàm của các phân thức hữu tỉ

Bảng công thức của hàm số dạng phân thức hữu tỉ gồm 3 công thức giải nhanh:

Đạo hàm của các phân thức hữu tỉ

f) Đạo hàm lượng giác ngược

Đạo hàm lượng giác ngược

3. Công thức đạo hàm cấp cao

Công thức đạo hàm cấp cao

4. Bài tập đạo hàm

Câu 1. Một hàm số có dạng $f\left( x \right) = – {x^4} + 4{x^3} – 3{x^2} + 2x + 1$, nó có tập xác định là. Hỏi $f’\left( { – 1} \right)$ có giá trị bằng:

A. 12.

B. 24.

C. 32.

D. 10.

Lời giải

Chọn B.

Đạo hàm của hàm f(x): $f’\left( x \right)$$ = – 4{x^3} + 12{x^2} – 6x + 2$ (*)

Khi đó, ta thay x = 1 vào (*) thì: $f’\left( { – 1} \right)$$ = 24$.

Câu 2. Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định bởi $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} – 1}}{x}\,\,\,\left( {x \ne 0} \right)\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x = 0} \right) \end{array} \right.$. Giá trị $f’\left( 0 \right)$ bằng:

A. $0$.

B. $1$.

C. $\frac{1}{2}$.

D. Không tồn tại.

Lời giải

Chọn C.

$\begin{array}{l} f’\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} – 1}}{{{x^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}} = \frac{1}{2} \end{array}$

Câu 3. $y = {x^4} – 3{x^2} + 2x – 1$

A. $y’ = 4{x^3} – 6x + 3$

B. $y’ = 4{x^4} – 6x + 2$

C. $y’ = 4{x^3} – 3x + 2$

D. $y’ = 4{x^3} – 6x + 2$

Lời giải

Chọn D

Ta có: $y’ = 4{x^3} – 6x + 2$

Câu 4. Đạo hàm cấp một của hàm số $y = {\left( {1 – {x^3}} \right)^5}$ là:

A. $y’ = 5{\left( {1 – {x^3}} \right)^4}$.

B. $y’ = – 15{x^2}{\left( {1 – {x^3}} \right)^5}$.

C. $y’ = – 3{\left( {1 – {x^3}} \right)^4}$.

D. $y’ = – 5{x^2}{\left( {1 – {x^3}} \right)^4}$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có : $y’ = 5{\left( {1 – {x^3}} \right)^4}{\left( {1 – {x^3}} \right)^\prime } = – 15{x^2}{\left( {1 – {x^3}} \right)^4}$.

Câu 5. Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{{4x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}$ (áp dụng u chia v đạo hàm)

A. $\frac{{ – x}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} }}$

B. $\frac{{x + 8}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} }}$

C. $\frac{{ – x + 8}}{{\left( {{x^2} + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 2} }}$

D. $\frac{{ – x + 8}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} }}$

Lời giải

Đáp án D

$\begin{array}{l} y’ = \frac{{{{\left( {4x + 1} \right)}^/}\sqrt {{x^2} + 2} – {{\left( {\sqrt {{x^2} + 2} } \right)}^/}.\left( {4x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2} } \right)}^2}}}\\ = \frac{{4.\sqrt {{x^2} + 2} – \frac{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^/}}}{{2\sqrt {{x^2} + 2} }}.\left( {4x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)}}\\ = \frac{{4\sqrt {{x^2} + 2} – \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}\left( {4x + 1} \right)}}{{{x^2} + 2}}\\ = \frac{{4\left( {{x^2} + 2} \right) – x\left( {4x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} }}\\ = \frac{{ – x + 8}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} }} \end{array}$

Câu 6. Cho hàm số $f\left( x \right) = k\sqrt[3]{x} + \sqrt x $$(k \in \mathbb{R})$. Để $f’\left( 1 \right) = \frac{3}{2}$ thì ta chọn:

A. $k = 1$.

B. $k = – 3$.

C. $k = 3$.

D. .$k = \frac{9}{2}$

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $f\left( x \right) = k\sqrt[3]{x} + \sqrt x $$ \Rightarrow f’\left( x \right) = {\left( {k\sqrt[3]{x} + \sqrt x } \right)^\prime } = k{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)^\prime } + {\left( {\sqrt x } \right)^\prime }$

Đặt $y = \sqrt[3]{x} \Rightarrow {y^3} = x \Rightarrow 3{y^2}y’ = 1 \Rightarrow y’ = \frac{1}{{3{y^2}}} = \frac{1}{{3{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}^2}}}$.

$f’\left( x \right) = k{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)^\prime } + {\left( {\sqrt x } \right)^\prime }$$ = \frac{k}{{3{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{2\sqrt x }}$.

Vậy để $f’\left( 1 \right) = \frac{3}{2}$ thì $\frac{k}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow k = 3$.

Trên đây là bảng các công thức đạo hàm cơ bản tới nâng cao lớp 11. Các công thức được sắp xếp từ căn bản tới nâng cao, nó không chỉ giúp học sinh hệ thống kiến thức trước khi thi mà còn giúp học sinh chưa học vẫn có thể học tốt. Rất mong đây sẽ là một bài viết bổ ích không chỉ cho học sinh lớp 11, giáo viên dạy mà các sĩ tử ôn thi đại học. Chúc bạn đạt kết quả cao