Toán 12Toán học

Cách tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Tiệm cận đồ thị hàm số

Trong chương 1 toán lớp 12, các em sẽ được học một dạng toán khá hay là tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Đây cũng là kiến thức căn bản, kiến thức chắc chắn sẽ xuất hiện trong đề thi học kì cũng như đề thi toán của Bộ giáo dục và đào tạo tới đây. Do đó, Diện tích bài viết này được biên soạn tỉ mỉ với mong muốn bạn hiểu và làm tốt được dạng toán này. Mời bạn theo dõi

1. Cách tìm đường tiệm cận đừng và tiệm cận ngang

Dạng 1: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Lưu ý: Nếu phân thức f(x) mà bậc của đa thức tử luôn nhỏ hơn bằng bậc của đa thức mẫu thì hàm f(x) luôn có tiệm cận ngang.

Dạng 2: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2. Bài tập

Câu 1. Hãy tìm đường tiệm cận đứng và xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 3}}{{x – 1}}$:

A. x = 1 và y = 2.

B. x = – 1 và y = 2.

C. x = 2 và y = 1.

D. x = 1 và y = – 3.

Lời giải

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x – 3}}{{x – 1}} = – \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{2x – 3}}{{x – 1}} = + \infty $nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x – 3}}{{x – 1}} = 2$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 2

Phương pháp trắc nghiệm

Nhập biểu thức $\frac{{2x – 3}}{{x – 1}}$.

Ấn CALC $x = 1 + {10^{ – 9}}$. Ấn = được kết quả bằng -999999998 nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x – 3}}{{x – 1}} = – \infty $.

Ấn CALC $x = 1 – {10^{ – 9}}$. Ấn = được kết quả bằng 999999998 nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{2x – 3}}{{x – 1}} = + \infty $.

=> đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1

Ấn CALC $x = {10^{10}}$. Ấn = được kết quả bằng 2 nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x – 3}}{{x – 1}} = 2$.

=> đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 2

Câu 2. Hãy tìm tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của $y = \frac{{1 – 3x}}{{x + 2}}$:

A. x = – 2 và y = – 3.

B. X = – 2 và y = 1.

C. x = – 2 và y = 3.

D. x = 2 và y = 1.

Lời giải

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 2)}^ + }} \frac{{1 – 3x}}{{x + 2}} = + \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 2)}^ – }} \frac{{1 – 3x}}{{x + 2}} = – \infty $nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = – 2

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 – 3x}}{{x + 2}} = – 3$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = – 3

Phương pháp trắc nghiệm

Nhập biểu thức $\frac{{1 – 3x}}{{x + 2}}$.

Ấn CALC $x = – 2 + {10^{ – 9}}$. Ấn = được kết quả bằng 6999999997 nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 2)}^ + }} \frac{{1 – 3x}}{{x + 2}} = + \infty $.

Ấn CALC $x = – 2 – {10^{ – 9}}$. Ấn = được kết quả bằng -7000000003 nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 2)}^ – }} \frac{{1 – 3x}}{{x + 2}} = – \infty $.

=> đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = – 2

Ấn CALC $x = {10^{10}}$. Ấn = được kết quả bằng -2,999999999 nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 – 3x}}{{x + 2}} = – 3$.

=> đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = – 3

Câu 3. Đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 3}}{{{x^2} – 3x + 2}}$ có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:

A. x = 1, x = 2 và y = 0.

B. X = 1, x = 2 và y = 2.

C. x = 1 và y = 0.

D. X = 1; y = 2 và y = – 3.

Lời giải

Chọn A

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x – 3}}{{{x^2} – 3x + 2}} = + \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{2x – 3}}{{{x^2} – 3x + 2}} = – \infty $nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

X = 1 . Tính tương tự với x = 2

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x – 3}}{{{x^2} – 3x + 2}} = 0$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0

Nhập biểu thức $\frac{{2x – 3}}{{{x^2} – 3x + 2}}$.

Xét tại $x = 1$: Ấn CALC $x = 1 + {10^{ – 9}}$. Ấn = được kết quả bằng 999999998 nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x – 3}}{{{x^2} – 3x + 2}} = + \infty $.

Ấn CALC $x = 1 + {10^{ – 9}}$. Ấn = được kết quả bằng -1,000000002 nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{2x – 3}}{{{x^2} – 3x + 2}} = – \infty $.

Tương tự xét với x = 2

=> đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 và x = 2

Ấn CALC $x = {10^{10}}$. Ấn = được kết quả bằng ${2.10^{ – 10}}$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x – 3}}{{{x^2} – 3x + 2}} = 0$.

=> đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0

Câu 4. Đồ thị hàm số $y = \frac{{1 – 3{x^2}}}{{{x^2} – 6x + 9}}$ có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:

A. x = 3 và y = – 3.

B. X = 3 và y = 0.

C. x = 3 và y = 1.

D. Y = 3 và x = – 3.

Lời giải

Chọn A

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{1 – 3{x^2}}}{{{x^2} – 6x + 9}} = – \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \frac{{1 – 3{x^2}}}{{{x^2} – 6x + 9}} = – \infty $nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 3$ .

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 – 3{x^2}}}{{{x^2} – 6x + 9}} = – 3$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = – 3

Câu 5. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{{{x^2} – 3x – 4}} + x$ là:

A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 5.

Lời giải

Chọn C

Quy đồng biến đổi hàm số đã cho trở thành $y = \frac{{{x^3} – 3{x^2} – 3x}}{{{x^2} – 3x – 4}}$

Tìm được tiệm cận đứng là x = – 1; x = 4 và không có tiệm cận ngang (Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \pm \infty $ )

=> Số đường tiệm cận là 2

Tới đây, những chia sẻ về cách tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tạm dừng. Hy vọng bài viết này giúp ích được cho bạn trong quá trình học tập.