7 hằng đẳng thức đáng nhớ bằng lời

7 hằng đẳng thức đáng nhớ là kiến thức toán học quan trọng được học từ lớp 8 và khi lên các lớp cao chúng thường xuyên được sử dụng để giải toán, rút gọn biểu thức, chứng minh công thức… Nêu rõ tầm quan trọng của nó để các bạn học sinh có thái độ học nghiêm túc ngày từ đầu.

1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ

a) 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Công thức của 3 đẳng thức bình phương

v

Công thức của 4 đẳng thức lập phương

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

b) 4 đẳng thức của 3 số

Lập phương của một tổng:

4 hằng đẳng thức của 3 số

Tổng 3 lập phương:

4 hằng đẳng thức của 3 số

Bình phương của một hiệu 3 số:

4 hằng đẳng thức của 3 số

Bình phương của một tổng 3 số :

4 hằng đẳng thức của 3 số

Bình phương của một tổng hiệu 3 số:

4 hằng đẳng thức của 3 số

2. Phân dạng bài tập

Dạng 1. Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng

a) ${\left( {\frac{1}{2} + x} \right)^2}$ $ = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 2.\frac{1}{2}.x + {x^2}$ $ = \frac{1}{4} + x + {x^2}$

b) (2x + 2y)2 = (2x)2 + 2.(2x).(2y) + (2y)2

= 4x2 + 8xy + 4y2

c) x2 – 2

= x2 – ${\left( {\sqrt 2 } \right)^2}$

= $\left( {x – \sqrt 2 } \right)\left( {x + \sqrt 2 } \right)$

d) (2x² + 3x – 2)²

= (2x²)² + (3x)² + 2² + 2.2x².3x – 2.3x.2 – 2.2x².2

= 4x4 + 9x² + 4 + 12x³ – 12x – 8x²

= 4x4 + 12x³ + 17x² – 12x + 4

Dạng 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng tích

a) m2 – n2 = (m – n)(m + n)

b) (x3 – x + 1)2 – (x2 – x + 2)2

= [(x3 – x + 1) – (x2 – x + 2)].[(x3 – x + 1) + (x2 – x + 2)]

= (x3 – 1).(x3 + x2 – 2x + 3)

d) (a² – b²)² – (a² + b²)²

= [(a² – b²) – (a² + b²)].[(a² – b²) + (a² + b²)]

= – 2b².2a² = – 4ab²

e) (x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6) + 1

= (x + 3)(x + 6)(x + 4)(x + 5) + 1

= (x2 + 6x + 3x + 18)(x2 + 4x + 5x + 20) + 1

= (x2 + 9x + 18)(x2 + 9x + 18 + 2) + 1

= (x2 + 9x + 18)2 + 2(x2 + 9x + 18).1 + 12

= (x2 + 9x + 18 + 1)2

= (x2 + 9x + 19)2

e) x2 + y2 + 2x + 2y + 2(x + 1)(y + 1) + 2

= x2 + y2 + 2x + 2y + 2xy + 2x + 2y + 2 + 2

= x2 + y2 + 22 + 4x + 4y + 2xy = (x + y + 2)2

g) x2 – 2x(y + 2) + y2 + 4y + 4

= x2 – 2xy – 4x + y2 + 4y + 4

= x2 + y2 + 2v – 2xy – 4x + 4y = (x – y – 2 2

h) x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1

= x2 + 2x(y + 1) + (y + 1)2

= (x + y + 1)2

Dạng 3. Chứng minh biểu thức

Chứng minh với mọi số nguyên n biểu thức (2n + 3)2 – 9 chia hết cho 4

Lời giải

(2n + 3)2 – 9 = (2n + 3)2 – 32 = [(2n + 3) – 3].[(2n + 3) + 3] = 2n.(2n + 6) = 4.n.(n + 3) (*)

Ta thấy (*) luôn chia hết cho 4 với mọi số nguyên n => ĐPCM

Dạng 4. Tìm giá trị của biểu thức

Bài tập 1: Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 – 4x + 9 

Lời giải

Ta có : A = x2 – 4x + 4 +  5 = (x – 2)2 + 5 

Ta thấy (x – 2)2 ≥ 0, nên (x – 2)2 + 5 ≥ 5 

Hay GTNN của A bằng 5 , giá trị này đạt được khi (x – 2)2 = 0 ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2 

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau A = 100 + 26x – 4x²

Lời giải

A = 100 + 26x – 4x²

= 100 – (4x² – 26x)

= 100 – [(2x)² – 2.(2x).6,5 + 6,5² – 6,5²]

= 100 – [(2x)² – 2.(2x).6,5 + 6,5²] + 6,5²

= 113 – (2x – 6,5)² (**)

Ta thấy khi 2x – 6,5 = 0 thì A đạt giá trị lớn nhất là Amax = 113

Kết luận: Khi x = 3,25 thì Amax = 113

Không riêng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ mà bất kì kiến thức nào cũng vậy, muốn nhớ lâu thì học sinh cần thường xuyên xem lại mỗi công thức, vận dụng mỗi công thức để giải bài tập tương ứng. Khi đã thành thạo, thuần thục và nhớ chính xác thì những đẳng thức này sẽ giúp bạn giải toán nhanh hơn, làm bạn thích thú với toán học hơn. Hy vọng bài viết này đã giúp ích được cho bạn trong quá trình học tập. Nhớ quay lại DienTich.net để xem các bài viết hay tiếp theo nhé.